倒数

倒数（reciprocal）又称乘法逆元（multiplicative inverse）、乘法逆元素，是一个数学学科术语，指数学上设一个数x与其相乘的积为1的数，记为1/x，过程为“乘法逆”，除了0以外的数都存在倒数，分子和分母相倒并且两个乘积是1的数互为倒数，0没有倒数。[1]

汉语中，名词倒数一般用来表示数字的乘法逆，一般在各种数域如：有理数、实数、复数，以及模n的同余类所构成的乘法群中使用。[2]

数论倒数

而在数论中，还有数论倒数的概念，如果两个数a和b，它们的乘积关于模m余1，那么我们称它们互为关于模m的数论倒数。比如mod，所以3是2关于5的数论倒数。数论倒数在中国剩余定理中非常重要。而辗转相除法提供了计算数论倒数的方法。

实数的倒数

1.求一个分数的倒数，例如，我们只须把这个分数的分子和分母交换位置，即得的倒数为；

2.求一个整数的倒数，只须把这个整数看成是分母为1的分数，然后再按求分数倒数的方法即可得到。如12，即，再把 这个分数的分子和分母交换位置，把分子做分母，分母做分子，则有，即12倒数是；

3.说明：倒数是本身的数是1和-1，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数；

4.把0.25化成分数，即，再把这个分数的分子和分母交换位置，把原来的分子做分母，原来的分母做分子。则是，再把化成整数，即4.所以0.25是4的倒数。也可以说4是0.25的倒数。也可以用1去除以这个数，例如0.25，等于4，所以0.25的倒数4；

5.求 倒数的 约分问题。在求倒数过程中，可约分的要约分，如，约分以后成，最后将其分子分母调换位置，得到，即为的倒数；

因此 乘积是1的两个数 互为倒数。

群论中倒数

近世代数中有群，域，环等概念，其中定义了抽象的乘法运算和单位元。同样的，关于其乘法如果有乘法逆，同样可以看成是倒数。

解题

在四则混合运算中，有时会用到倒数来解题，正规解起来很麻烦。

例如：计算

第一种方法：

解：原式的倒数=

=

=

=

=

所以，原式=

第二种方法：

解：=

它的倒数为

=因为此处0不可以作为除数，故用乘法代替。

=

=

所以，原式=

特点

倒数的特点：一个正实数（1除外）加上它的倒数 一定大于2。

理由：, 为倒数当时 一定大于1，可写为a-b因为b-b，又因为，所以，所以，所以a-b，所以一个正实数加上它的倒数一定大于2。

当时也一样。

同理可证，一个负实数（-1除外）加上它的倒数一定小于-2。

求证：a，b均为非1正实数，且a不等于b，和互为倒数， 。

证明：因为a-b，b-a ，所以a-，又因为a，b均为非1正实数，且a不等于b，所以， ，所以，所以a-b，即。

负倒数

乘积为-1的两个实数互为负倒数，实数x的负倒数记为或。一个实数的倒数和其负倒数是相反数，0没有倒数或负倒数。

参考资料

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[1]倒数( 倒数 ).汉典. [2023-12-29].

[2]multiplicative inverse 中文.zh.wordow.com/. [2023-12-29].

该页面最新编辑时间为 2024年3月31日